cuadrilateros

cuadrilateros
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miércoles, 22 de mayo de 2013

POLIGONOS Y CUADRILATEROS@



Polígono

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita desegmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro.
La palabra polígono deriva del griego antiguo  (polúgonos), a su vez formado por  (polú) ‘muchos’ y  (gōnía) ‘ángulo’. Aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.

Elementos de un polígono

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:
  • Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
  • Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
  • Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no continuos.
  • Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
  • Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
  • Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.
  • Ángulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
En un polígono regular se puede distinguir, además:
  • Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
  • Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
  • Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
  • Diagonales totales,  N_d =\frac{n(n-3)}{2}, en un polígono de n\, lados.

Clasificación


Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina

  • Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta.
  • Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
  • Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, es el que tiene todos sus ángulos menores que 180º.
  • Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios ángulos mayores que 180º.
  • Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.
  • Equiángulo, si tiene todos sus ángulos iguales.
  • Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
  • Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales.
  • Ortogonal o isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos x o y.
  • Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
  • Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
 Polígonos según sus lados

Triángulos
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tienen 3 lados.

Cuadriláteros
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tienen 4 lados.

Pentágonos
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tienen 5 lados.

Hexágonos
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tienen 6 lados.

Heptágonos
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tienen 7 lados.

Octágonos
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tienen 8 lados.

Eneágono
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tiene los 9 lados.

Decágono
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tiene 10 lados.

Endecágono
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tiene 11 lados.

Dodecágono
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tiene 12 lados.

Tridecágono
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tienen 13 lados.

Tetradecágono
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tiene 14 lados.

Pentadecágono
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tiene 15 lados.

Clasificación de polígonos según sus ángulos
Convexos
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Todos sus ángulos menores que 180°.
Todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Si un ángulo mide más de 180°.
Si una de sus diagonales es exterior.
POLÍGONOS REGULARES
Clasificación de polígonos regular
Triángulo equilátero
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene los 3 lados y ángulos iguales.
Cuadrado
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 4 lados y ángulos iguales.
Pentágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 5 lados y ángulos iguales.
Hexágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos' 
Tiene 6 lados y ángulos iguales.

Heptágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tienen 7 lados y ángulos iguales
Octágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 8 lados y ángulos iguales.

Eneágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene los 9 lados y ángulos iguales.

Decágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 10 lados y ángulos iguales.

Endecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 11 lados y ángulos iguales.

Dodecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 12 lados y ángulos iguales.

Tridecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tienen 13 lados y ángulos iguales.

Tetradecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 14 lados y ángulos iguales.

Pentadecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 15 lados y ángulos iguales.
Hexadecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'


]Tiene 16 lados y ángulos iguales. 
Heptadecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 17 lados y ángulos iguales.
Octadecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tiene 18 lados y ángulos iguales.

Eneadecágono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



Tienen 19 lados y ángulos iguales.
Icoságono regular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'


Tiene 20 lados y ángulos iguales. 

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Clasificación: Por el número de sus lados y por la forma de su contorno.

A.- Por el número de sus lados:

- Triángulo: polígono de tres lados. 
'Clasificaci�n de los pol�gonos'
Por la longitud de sus lados se puede clasificar:
  • Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)
  • Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales
  • Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.
Por la medida de sus ángulos:
  • Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
  • Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
  • Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º).


triángulo: polígono de 3 lados
'Clasificaci�n de los pol�gonos'

- Cuadriláteros: Son los polígonos de cuatro lados
  • Convexo: todos sus ángulos internos son menores que 180 grados (todas las puntas hacia afuera)
  • Cóncavo: uno de sus ángulos es mayor que 180 grados (no todas las puntas hacia afuera)

    Elementos de un cuadrilátero
    Los componentes de un cuadrilátero son los siguientes:
    • 4 vértices: puntos de intersección de los lados que conforman el cuadrilátero. 
    •  4 lados: segmentos limitados por dos vértices contiguos. 
    • 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos vértices no contiguos. 
    •  4 ángulos interiores: conformados por dos lados y un vértice común. 
    • 4 ángulos exteriores: prolongación de los lados.

    Polígono de 4 lados. Se clasifican en:
     'Clasificaci�n de los pol�gonos'

Tipos de cuadriláteros

      • CUADRADOSEs un polígono regular que tiene sus ángulos y lados iguales.

'Clasificaci�n de los pol�gonos'
    •        RECTÁNGULOS: Es un paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales, es decir, solamente sus lados opuestos son iguales; sus cuatro ángulos son rectos.


    • ROMBOS: Paralelogramos que tiene sus lados iguales y sus ángulos son oblicuos, es decir, sus ángulos no son rectos.



    • ROMBOIDES: Paralelogramo que tiene sus lados contiguos desiguales, es decir, solamente sus lados opuestos son iguales y sus ángulos son oblicuos.



'Clasificaci�n de los pol�gonos'

  • TRAPECIO.-Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos, es decir, los que se llaman “Bases” y los otros dos no, trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como: trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos. trapecio isósceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud,
      • TRAPECIO ESCALENO: Es aquel que tiene los lados no paralelos desiguales.


      • TRAPECIO ISOSCELES: Es aquel que tiene los lados no paralelos de igual longitud, formando con las bases ángulos adyacentes iguales.



      • TRAPECIO RECTÁNGULO: Es aquel que tiene un lado perpendicular a las bases, formando un ángulo recto con cada base.

    • TRAPEZOIDES.- Los cuadriláteros cuyos lados opuestos no son paralelos entre sí
      • TRAPEZOIDES SIMÉTRICOS: Son los que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente del segundo.



      • TRAPEZOIDES ASIMÉTRICOS: Son aquellos que no ofrecen ninguna de las características de un trapezoide simétrico.



Construcción dcuadriláteros

Construir un cuadrado conociendo el lado.

1. Se coloca el lado a (lado del cuadrado que se da como dato) en la posición de la base.
2. Desde los extremos del lado a, se trazan dos perpendiculares.
3. Mediante dos arcos, se lleva el lado a sobre las perpendiculares.
4. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el cuadrado pedido



Construir un cuadrado conociendo su diagonal d.
  
1. Sobre un punto cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre si: recta r y recta s.
2. Se traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas r y s
3. Sobre la bisectriz se lleva la diagonal.
4. Desde este punto se trazan paralelas a las rectas r y s.
5. Utilizando estos puntos, se construye el cuadrado.


Construir un rectángulo conocidos los lados.

1. Sobre una recta cualquiera r se coloca un lado del rectángulo, por ejemplo el lado a.
2. Sobre un extremo del lado a (por ejemplo el punto A) se traza una recta s perpendicular a            este lado y, sobre la perpendicular, se lleva el lado b.
3. Desde el otro extremo del lado a (punto B) se traza un arco de radio b.
4. Desde el punto D (extremo del lado b) se traza un arco de radio igual al lado a.
5. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el rectángulo.



Construir un rectángulo conocidos la diagonal y un lado.
  
1. Se coloca la diagonal d (segmento AB) sobre una recta cualquiera r.
2. Se halla el punto medio M de la diagonal y se traza una circunferencia que pase por sus extremos (puntos A y C).
3. Desde A y C se trazan dos arcos de radio a.
4. Se unen los puntos hallados (B y D), con los extremos de la diagonal (A y C), y se obtiene el rectángulo.







Construir un rombo conocidos una diagonal y su lado.
    
1. Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los puntos Ay C.
2. Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C. Obtenemos los puntos B y D.
3. Se unen los extremos de la diagonal (A y C) con los puntos hallados (B y D) y se obtiene el rombo
.



Construir un romboide conocidos los lados y la altura.
  
1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB
2. Se traza una perpendicular al lado AB en uno de sus extremos (por ejemplo, en B) y se lleva la altura h.
3. Por el punto 1 se traza una paralela a lado AB. Desde los extremos A y B, se trazan dos arcos, de radio BC.
4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el romboide.





Construir un trapecio recto conocidos sus lados paralelos y la altura.
   
1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB.
2. Se traza una perpendicular a AB en uno de sus extremos (por ejemplo en A) y se lleva la altura h.
3. Por D se traza una paralela a AB y se lleva la base superior CD.
4. Se unen los puntos A, B, C y D y se obtiene el trapecio recto.



- Pentágonos: Son los polígonos de cinco lados
Propiedades de los pentágonos:
  • Todos sus ángulos internos miden 108º. Partiendo del centro, al repartir la circunferencia entre 5 lados, tenemos 72º.
  • Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro, quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.
  • Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre las longitudes de los segmentos resultantes.
  • Se puede trazar empleando, únicamente, regla y compás.

- Hexágono: Son los polígonos de seis lados
El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:
  • Todos sus ángulos interiores miden 120º.
  • Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
o Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros. Numérense los vértices de 1 a 6 siguiendo las agujas del reloj. Uniendo los vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene otro.
  • Se puede empapelar el plano con hexágonos sin dejar ningún hueco.
  • Se puede trazar empleando únicamente regla y compás.

- Heptágonos: Son los polígonos de siete lados y siete ángulos.
En un heptágono regular, aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se unen formando un ángulo de aproximadamente 128'6 grados.
- Octágonos: Son los polígonos de ocho lados y ocho ángulos.
Un octógono u octágono regular es aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se unen formando un ángulo de 135 grados.
- Nonágonos o eneánogos: Son los polígonos de nueve lados y nueve vértices.
Nonágono proviene del latín (nonus, nueve + gonon). Un eneágono regular tiene un ángulo interno de 140°.
- Decágonos: Son los polígonos de diez lados y diez ángulos.
- Endecágonos: Son los polígonos de once lados y once ángulos.
- Dodecágonos: Son los polígonos de doce lados y doce ángulos.
- Pentadecágonos: Son los polígonos de quince lados y quince ángulos.
- Icoságonos: Son los polígonos de veinte lados y veinte ángulos.

B.- Por la forma de su contorno:
- Convexos: Son aquellos polígonos, en los que al atravesarlos una recta lo cortan en un máximo de dos puntos.
- Cóncavos: Son aquellos polígonos, en los que una recta al atravesarlos pueden cortar en más de dos puntos.
- Equiláteros: Son los polígonos que tienen todos sus lados iguales.
- Equiángulos: Son los polígonos que tienen sus ángulos iguales.
- Regulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y sus lados iguales entre sí.
- Irregulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y lados desiguales.

  • polígono regular'Clasificaci�n de los pol�gonos'

  • poligono irregular
'Clasificaci�n de los pol�gonos'



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